Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат. 4 страница

Предыдущая891011121314151617181920212223Следующая

Пусть f(x) и g(x) имеют пределы в точке а и они соответственно равны В и С.

f(x) +g(x), f(x) - g(x), f(x)g(x) имеют в точке а придел при этом,

lim(x->a)( f(x) +g(x), f(x) - g(x)) = B+-C

Предел произведения будет равнятся произведению ВС

Если С не равняется 0, то существует предел отношения,

ктр будет равнятся отношению В к С

Билет

Теорема 3.8. (о предельном переходе в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству

, то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Доказательство. Пусть все элементы , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Докажем, что . Предположим обратное, т.е. . Рассмотрим положительное число . Для этого числа существует номер такой, что для всех верно неравенство . Раскрывая модуль, получим . Из правого неравенства следует .

Последнее неравенство противоречит условию теоремы. Теорема 3.8 доказана.

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют неравенству

Действительно, рассмотрим последовательность . Из условия имеем, что начиная с некоторого номера, члены последовательности неотрицательны, т.е. . Тогда из теоремы 3.8 следует, что . Т.е. .

Билет

Первый замечательный предел. Докажем справедливость равенства

Рассмотрим окружность радиуса 1, с центром в начале координат. Обозначим радиальную меру угла через .

Тогда . Очевидно, что площадь меньше площади сектора , которая меньше площади . Т.к. ,

, то . Учитывая равенства (8) в последних неравенствах, найдём

.

Разделив обе части неравенств (9) на ,получим

или .

Из неравенств (10) находим

.

Т.к., , то , поэтому из неравенств (11) имеем

.

Из неравенств (12) и теоремы (4.3) следует

Из последнего равенства следует справедливость равенство (7).

Второй замечательный предел. . Ранее мы доказали, что

.

Третий замечательный предел. Докажем, что . Действительно

. Пусть . Тогда при . Поэтому . Тогда .

Четвёртый замечательный предел. Докажем, что .

Очевидно, что если , то равенство (14) выполнено. Пусть и .

Введем обозначение = . Тогда при . При этом, .

Пятый замечательный предел. Докажем, что .Пользуясь основным логарифмическим тождеством, представим в виде . Обозначим . Тогда при .

Из равенства (14) имеем и . Т.е.

Билет

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке существует предел функции и этот предел равен



(Определение непрерывной функции по Гейне) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к , последовательность сходится к .

(Определение непрерывной функции по Коши) Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует такое положительное число , что как только , справедливо неравенство .

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 5.1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

и , также непрерывны в точке .

Доказательство. Т.к. функции и непрерывны в точке , то ,

. Тогда ,

,
. Следовательно, функции

и непрерывны в точке . Теорема доказана.

Функция называется непрерывной на сегменте , если она непрерывна в каждой точке и непрерывна в точке справа и в точке слева, т.е.

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.


7383146319814113.html
7383185444388107.html
    PR.RU™